The Movie

我们要面对的事实是：很多人对于概率问题很糊涂。比如现在我告诉受到过一定教育的你们，我扔一个硬币扔了99次，全部都是花朝上，那么你们很自然就会知道，第100次扔硬币仍然是有对半的几率是花或者字。那些认为还是一定花朝上的或者是理解错误（将100次统一起来一起看待，而不是单独的去看待每次）或者是过于敏感，联想到了实质性的其他问题（如果99次都出现花，那么硬币肯定重量不平均）

但是有些概率问题就更加令人头疼了。其中一个著名的问题就是Monty Hall问题（就是21点里面的那个三个门问题），虽然题面有些不同，但都具有下面三个特征。

有三个门让你选，一个门后面是车，另外两个是羊（或者什么都没有）。主持人知道车在那个门后面。
你先选择一个门。
主持人打开另外两个门中的一个，里面是羊（或者什么都没有）。（主持人肯定会打开没有车的那个门）
主持人问你要不要改你的选择。
问题是，你要不要换一个选择。答案很明确，换一个选择更好。（我们可以很容易地通过重复这个场景来印证这个答案）。但是很多人理解不了这个问题，坚持说无论换不换选择，正确率都是一样的。
 说明图
现在令我最着迷的并不是哪个是正确答案，而是如何向那些不能理解的人来解释这个问题。我在此也尝试通过从语言文字和数字的角度来通过下面几种方法解释这个问题：

解释1：

（这是最基本的解释，但是即使得到认可，有时候也没办法改变他们原有的逻辑想法）

我们的选择有三个可能性，概率一样。比如你选择了A：
1）车在A（不变选择获胜）
2）车在B，主持人打开了C（变选择获胜）
3）车在C，主持人打开了B（变选择获胜）

变选择的获胜可能性大。


解释2：

一个理解方法是，主持人打开的是你没选择的两个门中的一个。你可以将另外两个门统一作为一个选择来看待。

例如在ABC三个门之中你选择了A。如果你选择错误，那么无所谓车是在B或者C哪个门后面，如果在B那么主持人打开C，如果在C，那么主持人打开B。但无论如何，车都是在B或者C后面。所以从“选错”的角度来说，你第一次选择A更可能错误。所以如果为你排除了B和C中的一个之后，改变你的选择会比较好。

解释3：

这个问题归根到底还是个数学问题，如果我们能从整体方面来观察整个事件就会更好地理解。门后面的东西是不会变的。所以你对于这个问题不能简单的用你的数学“逻辑”把选择几率在打开一个门之后平均为50-50。车在游戏开始的时候就已经确定了位置。车在哪个门后面的几率绝对不会由于你打开了随便哪个门之后而发生改变。

认为几率是50-50的人是将这个场景看成了“另一种”情况。如果你把奖品放到两个门后面，那么要想选中，确实是50-50的几率。但奖品实际在你选择“之前”，已经在那里了。

从另一个角度来说：可能性指的是随机的事件，不是事实。在这个问题中，随机事件是指车和羊（或者什么都没有）是在ABC哪个门后面。打开随便一个门，无论门后是什么，都不会改变每个门后面是什么物品的事实。


解释4：
不考虑主持人的用词的情况下，主持人问你的问题给你带来的思考是非常不一样的。本来的问题是选择正确的门，这很难，是3选1。我们不要认为主持人的问题一定是和之前一样“哪个门是正确的？”而是要想他会问你“你现在的选择是错误的么？”

所以，你现在明白了么？

郑小不的话：
其实这篇解释是一个循序渐进的解释，从基本的摆事实，逐渐到讲道理。目的是修正你的逻辑问题或者让你少走弯路

简单阐述一下问题：
一个游戏：有3扇关闭着的门，其中2扇门后面各有一只羊，另一扇门后面有一辆车。
参与者：一个游戏者和一个主持人。主持人事先知道各扇门后的物品，而游戏者不知道。
游戏目的：游戏者选择到车。
游戏过程：1、游戏者随机选定一扇门；2、在不打开此扇门的情况下，主持人打开另一扇有羊的门。3、此时面对剩下2扇门，游戏者有一次更改上次选择的机会。
问题是：游戏者是否应该改变上次的选择，以使选到车的概率较大？

答案：
不改变选择，得到车的概率是1/3。
改变选择，得到车的概率是2/3。

解释：
1、若想不改变选择选到车：
第一步：概率问题：
若不改变选择，要选到车，则游戏者必须第一次就选中车。此时选中车的概率是1/3（原理详见中学数学课本）。
第二步：必然问题：
因为游戏者不会改变选择，所以，之后主持人的任何行为——开门也好关门也好敲门也好摔门也好——都与游戏者最初做出的选择无关。
最终：概率还是1/3。
2、若改变选择选到车：
第一步：概率问题：
若要通过改变选择选到车，则游戏者必须第一次选中的是羊。此时选中羊的概率是2/3（原理详见中学数学课本）。
第二步：必然问题：
之后，主持人会打开另一扇有羊的门。此时游戏者面对剩下的2扇门，改变选择的方式只有一种，就是选上次没有选的那扇门。（这之中没有几分之几概率的存在。打个简单比方，一个包子和一个馒头放在你面前，你第一步先拿了个包子在手上；然后第二步我叫你“换一个拿”，显然你只能选剩下的那个馒头。在第二步中，你并没有选择包子或馒头的机会。）
最终：选到车的概率还是2/3。

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这个问题很早以前看到过，当时算了好半天，现在却忘记了当时算的结果。今晚在豆瓣看到一些评论和讨论，总觉得都说的很复杂拖沓，说实话绕来绕去大多我都没怎么看明白。。于是自己静坐了一会想到了这样的一个理解方法。
标题中厚颜无耻的用了“最简单解释”几个字，这只是我能想到的最简单理解方法，大家若有更好的方法，也请提出，欢迎讨论。
要注意的是，这已经是一个有正确答案的题目了，对1/3和2/3答案有怀疑的各位童鞋，还是先去怀疑怀疑自己吧。
事情在自己脑海中想的很简单，化为文字就显得很臃肿拖沓了。短短的这么点字，花了20多分钟删删改改，力求简单明快，但比起思维的流畅还是差了很多。高考91分的语文成绩还是凸显了我语言表达的不足么-。-
似乎很久没有思考过这样的数学问题了，现在觉得脑子清爽很多。
最后，这电影我还没看呢，评价3星是因为，这是对整体评价影响程度最低的选择。

三年前在法国学旅游管理时，听了一堂课由摩纳哥赌场总经理上的课，讲的是和博彩业有关的东西。当时他和我们开玩笑说，你们进了赌场，我想让你们中谁赢，谁就能赢，想让谁输，谁就会输，意思是他们的“系统”很强大。不过他马上接了一句，说是也有人比“系统”更强大，就是一个数学家，他说那家伙过去几年里，每年就都坐游轮环游世界，跑到全球的几大赌场赌一把，赢了大把钱就走。这位高人据说就是算牌的，让众赌场损失严重。不得已，他们把那位高人列入了黑名单，每次他一出现，就会有人高马大的保镖把他架出去，到底会不会像电影里描绘得那样暴打一顿，我就不知道，估计还是不会。

相信很多人没有看完电影，就开始思考本片开头提到的那个概率问题。的确，赌博其实就是一次次概率试验，尤其是比大小点这类相对需要更少技巧的项目。

片中涉及的那个车和羊的问题也被称作蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）或三门问题，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目“Let's Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

明确的限制条件如下：
参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
主持人知道每扇门后面有什么。
主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

百度给出的问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

解释如下：
有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是2/3。

如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是1/2。

另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。
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用概率论计算如下：
因为那一辆汽车在三个门后面的机率相等，所以可以算作古典概率。
假设A1代表车在1号门后面
    A2代表车在2号门后面
    A3代表车在3号门后面
    B1代表不交换选择到车
　　B2代表交换后选择到车
则通过题干可得
　　P(A1)=1/3 P(A2)=1/3 P(A3)=1/3
当主持人打开一扇有羊的门时，剩下两面门后面有车的纪律均等
    P(B1)=1/2 P(B2)=1/2
由全概率公式
P(B1)=P(B1|A1)P(A1)+P(B1|A2)P(A2)+P(B1|A3)P(A3)=1/2
P(B2)=P(B2|A1)P(A1)+P(B2|A2)P(A2)+P(B2|A3)P(A3)=1/2
故无论是否转向另一扇门，最后的几率都是50% (两扇门，一扇后面是羊，一扇后面是车，随机选择)
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那么百度上的解释有什么问题呢？

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是2/3。

问题在于第三种情况下，主持人分别选择两头羊中的任何一头，其实是２种情况。所以整体算来一共是四种情况

参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
参赛者挑汽车，主持人挑山羊一号。转换将失败。
参赛者挑汽车，主持人挑山羊二号。转换将失败。

这样，最终是否转换的结果就是一样的。

回到问题本身，我们使用了概率论中的古典概型。
它的特点如下：
１．试验的样本空间只包含有限个元素
２．试验中每个基本事件发生的可能性相同

而百度的算法中，各基本元素发生的可能性是不同的。这就是错误的来源。

这部电影是我最亲爱的Baby Yang热烈推荐的，他刚从拉斯维加斯回来，显然还在瘾上。此片讲的是MIT的一个教授带着几个高材生去拉斯维加斯赌场数牌算21点狂赚一笔的故事。影片的开头就给我们带来了一个有趣的数学问题：
 
你在参加一个娱乐节目，有三扇门，一扇门后面是豪华轿车，另外两扇门后面都是山羊。主持人让你猜，哪扇门后面有轿车，猜中了轿车就归你。你猜了一扇门之后，主持人缓缓推开了另一扇门----这扇门后是山羊（当然主持人预先知道三扇门后面分别是什么），然后他问你，要不要放弃你原来选的门，改投另一扇关着的门？
 
我们先来常人思维一把：看起来，主持人替我排除了一扇门，我的命中率提高到了50%，那我换一扇门命中概率还是一样的50%，道理上换不换无所谓呀。主持人替我排除一个是不是要诱惑我去换？还是诱惑我不换……
 
你是这么想的么？让我们摈弃主持人诱惑之类带有感情色彩的废话，来真正分析一下概率吧。影片中的高材生说，我一定换，因为换一扇门把我的命中率从33%提高到了67%，当然要换。随后这个问题在影片中就戛然而止了。
 
你反应过来了么？反正当时我是没反应过来。看完电影后本人认真想了10分钟，终于明白了高材生1秒钟之内想通的道理。您如果还没想通，建议先动动脑子再看下面的我的思路吧。
 
我不是MIT高材生，所以只能从他的答案中去逆推原理。概率既然会发生变化，问题肯定处在主持人预知答案还帮你排除一项这个过程中。如果我一开始就选中了车，这个概率是33%，主持人随便推一扇门，我再换，就失去了车。也就是说，选择换而没得到车的概率至少有33%。如果我一开始选中的是山羊，这个情况的概率是67%，那主持人只能推开另一只山羊。这时候我选择换，那么一定会换到车（100%）。也就是说，选择换而得到车的概率是67%*100%=67%。
 
如果我选择不换，那么情况完全相反，或者说主持人的排除法对我的命中率完全没影响，我得到车的概率是33%。
 
两个一相减，就得到了高材生的结论，选择换能把命中率从33%提高到67%。
 
是不是严格的推导过程得出的结果和自己的直觉很不一致啊。的确很奇妙。要是还是难以置信，就记住概率的改变发生在主持人被迫推出另一只山羊这个过程中，因为这是主持人唯一的选择，也是有利于你的选择。
 
这部电影涉及的另一个问题就是21点算牌的问题，也是贯穿影片始末的线索。其实这个问题比上述问题更加简单。
 
21点会玩吧？你和庄家对局，庄家给自己和你各发两张牌，算点数。J,Q,K都算10，A算11（如果爆牌了可以算1，爆牌后文会提），其余的按牌面数字算。这时候双方都可以选择继续加牌（不限张），或者不加，直到你认为自己的手牌点数最接近21为止。如果任何一方超过21就是爆牌，直接输。如果双方都小等于21，则亮牌，谁点数大谁赢。另外影片中还涉及到了一个split的规则，即如果你拿到的两张牌是同一点数，你可以选择将它们split，分成两堆，即同时玩两局。
 
这个能有什么猫腻？我再提供几个信息：赌场是用完整的四副或六副牌混在一起来玩21点的，一般出到还剩一副牌时重新洗牌；庄家（即赌场工作人员）的固定策略是到17点不再加牌，否则就继续加。
 
其实这根本不需要MIT教授和高材生来破解，很容易理解。因为庄家到16点或以下一定还会加牌，那么剩余的未出的牌中大牌越多，则庄家爆牌的可能性越大。那么先在一个牌桌蹲点，如果注意到小牌已经出了很多，那么庄家爆牌的机会就大了，也就是可以出手了。如何计算小牌已经出了多少呢？影片中用的是这个方法，2~6算+1点，7~9算0点，10,J,Q,K,A算-1点，出一张牌累加一次，一直累加到正数相当大并且牌已经出了相当多，那么就可以出手了。
 
影片里的赌棍们还有一些具体细化的操作。这种算法不是包赢的，因为点数算的是概率。那么就不难理解，同一点数的情况下，剩下未出的牌越少，则胜算越大，因此应该根据剩余牌数给点数做一个修正，以期让这个点数更能反映当前的胜算。另外一直蹲点用最小赌注输输赢赢，突然出大手屡战屡胜狂捞一笔显然会受到赌场的注意，因此赌棍们有了分工。先派一些侦查员蹲点，当某桌点数达到10以上的时候就用暗号叫伪装喝醉的同伴来出大手，并且用暗语来告诉同伴现在这桌多少点了。随后就是“醉汉交好运”的故事。一般人狂赚之后都会发疯，所以侦查员的工作就是继续数牌，当发现牌点变小了以后就再用暗号暗示醉汉同伴可以撤了。
 
就是用这种简单的方法，影片中的教授和高材生们去狂捞了一笔。
 
看了心痒痒，也想飞到维加斯捞一把？同学，你当赌场是吃素的么。这样一部电影都拍出来了，赌场会让你这么轻松去抢钱么。赌场天上地下都是摄像头，随时监控赌客的异动。正如影片中描述的，现在已经有面部识别软件，来判断一个赌客是否在数牌。随后就有戴着墨镜黑西装的大汉出现在你身后了。
 
说了这么多，这电影就是教观众去拉斯维加斯抢钱的么？当然不是，现在我们来回归电影本身吧。这部电影的主题是得到和失去，得到的可以是无数的钱、美女、哈佛MIT学位；失去的也可以是钱、美女、学位，还有一点就是自我。影片主角高材生为了哈佛学费而上了这条道，然而当他赚的盆满钵盈的时候，却无法收手，迷失了自我，最后的结局自然是失去了一切。从最高处摔倒谷底，一定摔的最痛最惨，见好就收无疑是千古之训。
 
影片中的一大亮点就是看似见好就收功成身退的MIT教授。要说当今好莱坞仍然活跃真正的戏骨，女演员我瞬间就能喊出梅丽尔·斯特里普，男演员呢？还真得好好想想，布拉德皮特？去死吧。强尼戴普？看似演技派，实则还是阴阳怪气的偶像派。阿尔·帕西诺或罗伯特·德尼罗？说实话他们是不错，不过貌似戏路有点窄，阿尔·帕西诺近年来就大嗓门一条路线。
 
苦思冥想之际，相貌平平极易淹没在人海中的凯文·史派西浮出了水面。他大概是最没明星相的明星了，然而他在《洛城机密》里绝对油条级的演出，《非常嫌疑犯》里无敌的伪装，乃至《美国丽人》里对空虚男人的精确诠释，无一不让人五体投地。本片显然无需如此深度，演出一个聪明决定，自信满满，而又态度暧昧，暗藏坏水MIT教授，对他来说自然是游刃有余。除了数学算法，本片的亮点大概就是他似笑非笑的表情了。
 
写的好长啊。谨以此文献给Baby。

微信公众号：肥嘟嘟看电影(feidudumovie)

某本期货的书里推荐的这部影片，看完确实有很多共鸣。21点里的算牌跟操盘手的交易系统，有相似的地方。都是基于概率，都有规则需要遵守。当一下子累积到了那么多财富之后，会不会迷失自己？还记不记得当初为什么要进入“赌场”，能不能急流勇退？

110821下外公家